从经典物理到量子物理

黑体辐射

热辐射与基尔霍夫定律

1. 热辐射：物体由于具有温度而发射电磁波的现象. 这种辐射不需要介质传递，可以在真空中传播.

2. 平衡热辐射：物体在热平衡状态下发射的热辐射. 当物体与周围环境达到热平衡时，物体吸收的辐射能量与它发射的辐射能量相等，此时物体的温度保持不变.

3. 谱辐射本领 $𝑟(𝜆, 𝑇)$（单色辐出度）：

   $$\begin{equation} r(\lambda,T)=\frac{dE(\lambda,T)}{d\lambda} \end{equation}$$ $$\begin{equation} r(\lambda,T)=-r(\nu,T)\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{\nu^{2}}{c}r(\nu,T) \end{equation}$$

4. 总辐射本领

   $$\begin{equation} R(T)=\int_0^\infty r(\lambda,T)d\lambda=\int_0^\infty r(\nu,T)d\nu \end{equation}$$

5. 物体对辐照到其上面的辐射的响应方式一般包括吸收、反射、透射（透明物质）. 一定温度下，

• 物体的吸收本领（系数）:

  $$\begin{equation} a(\lambda, T) = \frac{dE^a(\lambda, T)}{dE^{in}(\lambda, T)} \end{equation}$$

• 反射本领（系数）:

  $$\begin{equation} \beta(\lambda, T) = \frac{dE^{refl}(\lambda, T)}{dE^{in}(\lambda, T)} \end{equation}$$

• 透射本领（系数）:

  $$\begin{equation} t(\lambda, T) = \frac{dE^{trans}(\lambda, T)}{dE^{in}(\lambda, T)} \end{equation}$$

由能量守恒知：

$$\begin{equation} a(\lambda, T) + \beta(\lambda, T) + t(\lambda, T) = 1 \end{equation}$$

对不透明的物体，$t(\lambda, T) = 0$；对（绝对）黑体，$a(\lambda, T)=1$.

1. 物体吸收本领和辐射本领之间的关系：基尔霍夫定律
   在热平衡状态下，任何物体的谱辐射本领与谱吸收本领的比值是一个与物体本身性质无关的普适函数 $$\begin{equation} \frac{r(\nu,T)}{\alpha(\nu,T)}=f(\nu,T), \end{equation}$$

• 物体的辐射本领正比与其吸收本领；
• 与同温度其它物体的热辐射相比，黑体热辐射本领最强；
• 通过研究黑体的谱辐射本领，便可以知道普适函数$𝑓(𝜈, 𝑇 ) $的性质.

1. Stefan-Boltzmann 定律：$R(T) \propto T^4$ $$\begin{equation} R(T) = \sigma T^4, \quad \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4} \end{equation}$$
2. Wien 位移定律： $$\begin{equation} \lambda_m T = b, \quad b = 2.897 \times 10^{-3} \text{m} \cdot \text{K} \end{equation}$$
3. 黑体辐射本领与辐射能量密度的关系$*$： $$\begin{equation} r(\nu, T) = \frac{c}{4} E(\nu, T) \end{equation}$$
4. 黑体辐射本领的转换关系$*$： $$\begin{equation} r(\lambda, T) = \frac{c}{\lambda^2} r(\nu, T) \quad ,\nu = \frac{c}{\lambda} \end{equation}$$

5. 黑体辐射能谱曲线：
   (1) Wien 半经验公式：短波符合

   $$\begin{equation} r(\lambda,T)=C_1\lambda^{-5}e^{-\frac{C_2}{\lambda T}} \end{equation}$$

   其中第一、第二辐射常量$C_1=2\pi hc^2,\quad C_2=hc/k_B$
   (2) Rayleigh-Kings 公式：长波符合，紫外灾难

   $$\begin{equation} r(\nu,T)=\frac{2\pi\nu^2}{c^2}k_BT\quad\text{或}\quad r(\lambda,T)=\frac{2\pi c}{\lambda^4}k_BT, \end{equation}$$

   (3) Planck 公式：

   $$\begin{equation} r(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2\lambda^{-5}}{e^{hc/\lambda k_BT}-1} \end{equation}$$

   其中普朗克常数$h=6.6260755(40)\times10^{-34} J\cdot s$

   普朗克量子化假说：物体的辐射和吸收能量是以离散的能量子形式进行的，即能量是量子化的. 频率为 $\nu$的谐振子的能量只能取某些特殊的分立值，这些分立值是基本能量单元$\varepsilon_0 = h \nu$ 的整数倍，即$\varepsilon_n=n \varepsilon_0=h \nu$.

光电效应

1. 光电效应的实验规律：

• 存在饱和电流，饱和电流与入射光强成正比.即单位时间内，阴极溢出的光电子数与入射光强成正比；(光强一定时，随着外加电压的增大，极限情况时所有光子都可以产生光电子，光电子形成的电流就趋于饱和.)
• 存在遏止电压$V_0$，且遏止电压和入射光频率成线性关系（与经典矛盾）；
• 存在截止频率$\nu_0$（红限），仅$\nu \gt \nu_0$才有光电子溢出（与经典矛盾）；
• 光电子是瞬时发射的，弛豫时间不超过$10^{−9}𝑠$.(光子能量一次被一个电子吸收，不需要积累能量的时间.)

1. Einstein光量子假说：
   光是由不连续的能量单元组成的能量流，其中每一个单元称为光量子（简称光子）. 光子的能量为$ℎ\nu$ ，光子只能被整个地吸收或发射.

光子动量：

$$\begin{equation} p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda} \end{equation}$$

相对论质能关系：

$$\begin{equation} E^2=p^2c^2+m_0^2c^4 \end{equation}$$

1. Einstein 光电效应方程： $$\begin{equation} h\nu = \phi + \frac{1}{2} m v_m^2 \end{equation}$$

$\phi=h \nu_0$为克服金属的束缚需要的逸出功。

1. 遏止电压： $$\begin{equation} eU = \frac{1}{2} m v_m^2 \end{equation}$$

康普顿散射:有力支持光量子理论

1. 实验结果：

• （1）除原波长$\lambda_1$外，出现了波长变长的散射波.
• （2）波长的偏移只与散射角$\varphi$有关，而与散射物质种类及入射的X 射线的波长$\lambda_1$ 无关.
• （3）不同材料，同一散射角的实验中随着原子序数的增大波长不变的成分在增加，而波长变长的成分在减少.

1. 康普顿散射公式： $$\begin{equation} \Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\varphi) \end{equation}$$

在公式的推导过程中利用了爱因斯坦的光量子假设，康普顿散射实验有力地支持了爱因斯坦光量子理论.

• X 射线与内层电子的散射，散射波的波长不变，为相干散射.
  解释：X 射线光子与内层电子的散射. 内层电子与原子核结合紧密，束缚能较大，X 射线相当于和整个原子$M$发生碰撞，$\Delta \lambda \sim 0$
• X 射线与外层电子的散射，散射波的波长变长，为非相干散射，称为康普顿散射.
• 随原子序数的增大，散射谱中波长不变的成分在增加，而波长变长的成分在减少.
  解释：随着原子的增大，核外电子的总数目增加，X 射线与内层电子碰撞的概率增大，与外层电子碰撞概率减小.

1. 当入射光子能量等于电子静止静止能，其波长为康普顿波长：

   $$\begin{equation} \lambda_c=\dfrac{h}{m_0 c}=\dfrac{hc}{m_0c^2}=0.002426nm \end{equation}$$

   其中$hc=1240 nm \cdot eV$，$m_0 c^2=511keV=0.511MeV$.
   且当$\varphi=90°$，$\Delta \lambda=\lambda_c$.

从氢原子光谱到玻尔模型

氢原子光谱

1. Balmer 经验公式： $$\begin{equation} \lambda=B\frac{n^2}{n^2-4}\quad(n=3,4,5\cdots) \end{equation}$$
2. 里德伯公式： $$\begin{equation} \tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) \end{equation}$$ $ m=1,2,3,…,$对每一个$m,n=m+1,m+2,\cdotp\cdotp\cdotp,$
3. 在光谱学中，光谱项定义为 $$T(m)=\frac{R_H}{m^2}$$ 故波数可写作： $$\begin{equation} \tilde{\nu}=T(m)-T(n) \end{equation}$$

卢瑟福核式结构模型

$\alpha$粒子散射实验

1. Coulomb 散射公式：

   $$\begin{equation} b = \frac{a}{2} \cot \frac{\theta}{2}, \quad a = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 E} \end{equation}$$

   其中Coulomb散射因子$a$亦即对心碰撞最小距离。

2. Rutherford 散射公式：

   $$\begin{equation} \sigma_c(\theta) \equiv\frac{d\sigma(\theta)}{d\Omega} = \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4E} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 \frac{\theta}{2}} = \frac{a^2}{16 \sin^4 \frac{\theta}{2}} \end{equation}$$

其物理意义是$\alpha$粒子散射到$\theta$方向单位立体角内一个靶核的有效散射截面，也是被单位面积内的一个靶核散射到 $\theta$ 方向单位立体角内的概率.

单位立体角的散射概率和微分截面等价：

$$\begin{equation} \dfrac{dN}{N}=nt\sigma_C(\theta)d\Omega \end{equation}$$ $$\begin{equation} d\Omega=2 \pi \sin(\theta) d\theta \end{equation}$$

Bohr 模型

1. Bohr 模型：

   (1) 定态条件：在氢原子中，电子只能处于一些分立的轨道上绕核转动，这些轨道称为定态. 在定态中，电子不产生电磁辐射。

   能量：

   $$\begin{equation} E_n = T + V = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n} = -\frac12 \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n} \end{equation}$$

   (2) 频率条件：

   $$\begin{equation} h \nu_{nn'} = E_{n'} - E_n \end{equation}$$

比较Rydberg 方程，得到量子化的能量：

$$\begin{equation} E_n=-\dfrac{Rhc}{n^2} \end{equation}$$

(3) 对应原理，或角动量量子化：

$$\begin{equation} L = m_e v r = n \hbar \end{equation}$$

其中$\hbar=\dfrac h{2\pi}$.

1. Coulomb 力充当向心力：

   $$\begin{equation} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r} \end{equation}$$

2. Bohr 半径：

   $$\begin{equation} r_n = n^2 \left( \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \right) = n^2 r_1 \end{equation}$$
3. Bohr 能量： $$\begin{equation} E_n = T + V = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n} = -\frac12 \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n} = -\frac{1}{2} m_e c^2 \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} \right)^2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{E_1}{n^2} \end{equation}$$

由角动量量子化可得电子速度.

1. Rydberg 方程：

   $$\begin{equation} \tilde{\nu}_{nn'} = \frac{1}{\lambda_{nn'}} = \frac{\nu_{nn'}}{c} = \frac{1}{h c} (E_{n'} - E_n) = -\frac{E_1}{h c} \left( \frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2} \right) = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right) \end{equation}$$

   Bohr模型的计算：

2. 精细结构常数：

   $$\begin{equation} \alpha = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} = \frac{1}{137} \end{equation}$$
3. Bohr 第一半径： $$\begin{equation} a_1 = r_1 = \frac{\hbar}{\alpha m_e c} = 0.053 \text{ nm} \end{equation}$$
4. Bohr 第一速度： $$\begin{equation} v_1 = \alpha c = \frac{c}{137} \end{equation}$$
5. 氢原子的基态能量： $$\begin{equation} E_1 = -\frac{1}{2} m_e (\alpha c)^2 = -13.6 \text{ eV} \end{equation}$$ Bohr 能量改写为： $$\begin{equation} E_n=-\frac{1}{2}m_e(\alpha c)^2\frac{1}{n^2}=-\frac{13.6}{n^2} \end{equation}$$
6. Rydberg 常量： $$\begin{equation} R = \frac{2\pi^2e^4m_e}{\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2ch^3} = -\frac{E_1}{h c} = 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1} \end{equation}$$

两体修正$m_e \rightarrow \mu=\frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$

$$\begin{equation} R_H = \frac{2 \pi^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \cdot c h^3} \frac{M_p m_e}{M_p + m_e} = \frac{2 \pi^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \cdot c h^3} m_e \frac{1}{1 + \frac{m_e}{M_p}} = R \frac{1}{1 + \frac{m_e}{M_p}} \end{equation}$$ $$m_p=1836 m_e$$

而当绕核粒子质量较大，需要修正$R$中$m_e$。

弗兰克-赫兹实验(1914)

揭示了汞原子存在一个激发态，其与基态的能量差为$4.9eV$. 每当电子被加速到能量为$4.9eV $时，其可以通过与汞原子碰撞失去动能，同时将汞原子激发到激发态. 汞原子退激发时，放出$4.9$ 电子伏的光子.

玻尔模型在类氢系统的应用

类氢系统的特征是一个带负电的粒子加上一个带正电的核心，比如类氢离子、里德伯原子和奇异原子.

类氢离子:原子核外只有一个电子

里德伯原子:电子被激发到非常高的主量子数$𝑛 $的原子

相应的激发态称为里德伯态. 这些原子的外层电子处于高度激发态，离原子核的距离非常远，因此具有独特的物理性质.

奇异原子:组成粒子或结构发生显著变化的原子

Bohr 模型的修正

1. 氢光谱：两体修正 $$\begin{equation} R_A = \frac{2 \pi^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \cdot c h^3} \frac{m_A m_e}{m_A + m_e} = \frac{2 \pi^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \cdot c h^3} m_e \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_A}} = R \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_A}} \end{equation}$$
2. 类氢光谱：在原有公式中出现 $e^2$ 时乘以 $Z$ $$\begin{equation} r_n = \frac{n^2}{Z} r_1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} E_n = \left( \frac{Z}{n} \right)^2 E_1 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \left( \frac{1}{\lambda} \right)_A = R_A \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right) Z^2 = R_A \left[ \frac{1}{(n/Z)^2} - \frac{1}{(n'/Z)^2} \right] \end{equation}$$

电子速度：

$$\begin{equation} v_n=\dfrac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0\hbar n}=\dfrac{c}{137}\dfrac{Z}{n} \end{equation}$$

1. 相对论修正*：
   (1) 电子的动能： $$\begin{equation} T_n = (m - m_0) c^2, \quad m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \quad \beta = \frac{\alpha Z}{n} \end{equation}$$ (2) 电子的势能： $$\begin{equation} V_n = -\frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_n} = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot \frac{e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2 c^2} m c^2 = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot \alpha^2 \cdot m c^2 = -\beta^2 m c^2 \end{equation}$$ (3) 电子的能量： $$\begin{equation} E_n = T_n + V_n = m c^2 \left( 1 - \beta^2 \right) - m_0 c^2 = m_0 c^2 \left( \sqrt{1 - \beta^2} - 1 \right) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \approx -m_0 c^2 \left( \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{1}{8} \beta^4 \right) = -\frac{m_0 c^2}{2} \left( \frac{Z \alpha}{n} \right)^2 \left[ 1 + \frac{1}{4} \left( \frac{Z \alpha}{n} \right)^2 \right] \end{equation}$$